Systèmes à temps discret
Contents
2.3. Systèmes à temps discret#
Definition 2.6 (Systèmes numériques)
Un système à temps discret, ou système numérique, est un opérateur \(T\) qui transforme un signal discret, \(x\), placé à l’entrée du système (signal d’entrée ou de commande) en un signal discret, \(y\), en sortie du système (signal de sortie ou réponse) : \(y=T(x)\).
2.3.1. Types de systèmes à temps discret#
Definition 2.7 (Systèmes linéaires)
Un système à temps discret défini par l’opérateur \(T\) est dit linéaire si :
\(\forall\) \(x_1\), \(x_2\) signaux d’entrée du système et \(\alpha\), \(\beta\) \(\in \mathbb{C}\).
Definition 2.8 (Systèmes sans mémoire)
Un système à temps discret est dit sans mémoire si sa sortie à l’instant \(n\) ne dépend que de son entrée à l’instant \(n\).
Dans tous les autres cas le système sera dit à mémoire, mémoire qui peut être finie (la sortie à l’instant \(n\) dépend uniquement de l’entrée aux instants \(n\) à \(n-N\)) ou infinie (la sortie à l’instant \(n\) dépend de toutes les valeurs passées de l’entrée).
Definition 2.9 (Systèmes causaux)
Un système à temps discret est dit causal si sa sortie à l’instant \(n\) ne dépend que des valeurs passées de son entrée (instants \(m \leq n\)).
Un système à temps discret est dit anticausal si sa sortie à l’instant \(n\) ne dépend que des valeurs futures de son entrée (instants \(m > n\)).
Remark 2.1
Un système peut être constitué d’une partie causale et d’une partie anticausale.
Nous verrons par la suite que la sortie d’un système peut également dépendre de ses valeurs passées (présence d’une boucle de récation).
Un système numérique sera toujours causal à un retard près.
Definition 2.10 (Systèmes invariants dans le temps)
Un système à temps discret défini par l’opérateur \(T\) est dit invariant dans le temps (ou invariant par translation temporelle) si :
\(n_0\) représentant un retard de \(n_0\) échantillons.
Definition 2.11 (Systèmes stables)
Un système à temps discret est stable si à toute entrée bornée correspond une sortie bornée : \(|x(n)|<\infty \Rightarrow |y(n)|< \infty\) (condition BIBO = Borned Input Borned Output).
2.3.2. Exemples de systèmes à temps discret#
Example 2.1 (Introduction d’un retard)
Un système numérique introduisant un retard de \(n_0\) échantillons est défini par \(y(n)=x(n-n_0)\) (\(x(n+n_0)\) représente une avance).
Example 2.2 (Calcul d’une valeur cumulée)
Un système numérique calulant une valeur cumulée est défini par \(y(n)=\sum_{k=-\infty}^n x(k)\).
Example 2.3 (Calcul d’une valeur moyenne)
Un système numérique peut calculer une valeur moyenne, par exemple entre échantillons voisins : \(y(n)=\frac{1}{3}\left(x(n-1)+x(n)+x(n+1)\right)\).
Example 2.4 (Filtres numériques)
Un système numérique peut réaliser un filtrage linéaire du signal d’entrée. Une équation récurrente lie alors entrée et sortie, par exemple : \(y(n)=x(n)+0.5x(n-1)+0.3x(n-2)\).
Note
Les filtres numériques font l’objet d’un chapitre complet par la suite (chapitre \(6\)).
2.4. Etude des systèmes à temps discret : transformée en \(z\)#
Note
Tout comme la transformée de Laplace permet l’étude des systèmes analogiques linéaires invariants dans le temps, la transformée en \(z\) va permettre l’étude des systèmes numériques linéaires invariants dans le temps.
Les principaux éléments concernant cette transformée sont donnés dans un des chapitres suivant (chapitre \(5\)) et elle est utilisée dans le chapitre \(6\) pour étudier les filtres numériques linéaires invariants dans le temps.