3.4. Exercices#

Les corrections se trouvent dans le poly d’exercices.

Exercise 3.1 (Etude de la TFD d’un signal à spectre continu : effet de la limitation de la durée du signal.)

(3.1)#\[\begin{equation} x(t) = \left\{ \begin{array}{rl} e^{-at} & \mbox{si } t\geq 0, a>0\\ 0 & \mbox{si } t<0. \\ \end{array} \right. \; \end{equation}\]

On observe le signal sur une durée limitée \(L\).

  1. Montrer que la transformée de Fourier du signal observé sur une durée \(\left[0, L\right]\) s’écrit \(X_L(f)=X(f)G(f,L)\).

  2. Déterminer le module de \(G(f,L)\).

  3. Montrer que \(\left|G(f,L)\right|\) est compris entre \(1-e^{-aL}\) et \(1+e^{-aL}\).

  4. Chiffrer ces bornes pour \(L=\frac{4}{a}\).

  5. Déterminer la phase de \(G(f,L)\).

  6. En utilisant les développements limités dans le cas où \(L>>\frac{1}{a}\), montrer qu’on peut arriver à la valeur approchée de la phase suivante :

    \[Arg\left[G(f,L)\right] \simeq e^{-aL} \sin(2 \pi f L)\]

  7. Borner la valeur approchée de la phase et la chiffrer pour \(L=\frac{4}{a}\).

  8. Quelle conclusion peut-on tirer de ces calculs sur l’effet de la troncature du signal x(t) ?

Exercise 3.2 (Etude de la TFD d’un signal à spectre continu : échantillonnage et limitation de la durée du signal)

Soit le signal \(x(t)\) défini par :

(3.2)#\[\begin{equation} \label{eq_signal1} x(t) = \left\{ \begin{array}{rl} e^{-at} & \mbox{si } t\geq 0, a>0\\ 0 & \mbox{si } t<0. \\ \end{array} \right. \; \end{equation}\]

  1. Donner l’expression de la transformée de Fourier d’un signal \(x(t)\) échantillonné à \(T_e\) et limité à \(N\) points, c’est-à-dire la transformée de Fourier de \(\left\{x(kT_e)\right\}\) pour \(k=0, ...,N-1\). On la notera \(X_D(f)\).

  2. Déterminer \(X_D(f)\) pour le signal donné par (\ref{eq_signal1}). La comparer à \(X(f)\).

Exercise 3.3 (Etude de la TFD d’un signal à spectre discontinu : calcul d’un nombre fini de points du spectre)

Soit le signal \(x(t)\) défini par :

(3.3)#\[\begin{equation} \label{eq_signal3} x(t) = A e^{j(2 \pi f_0 t + \phi)}, \; t\in \mathbb{R}, \; \phi=constante \end{equation}\]

  1. Déterminer la transformée de Fourier \(X(f)\) du signal \(x(t)\).

  2. Déterminer la transformée de Fourier du signal observé sur une durée limitée \(\left[0, L\right]\). On la note \(X_L(f)\).

  3. Déterminer la transformée de Fourier du signal échantillonné à \(T_e\) et observé sur \(N\) points. On la note \(X_D(f)\).

  4. La transformée de Fourier numérique (spectre du signal) ne sera calculée que pour un nombre fini, \(N\), de points : \(X_D(f) \rightarrow \left\{X_D(n \frac{F_e}{N})\right\}\) pour \(n=0, ...,N-1\). Dans le cas où \(f_0=\frac{n_0}{N}F_e\), avec \(n_0\) entier, déterminer \(X_D(n)\) (notation pour \(X_D(n \frac{F_e}{N})\)) puis tracer \(\left|X_D(n)\right|\) pour \(n=0, ...,N-1\). Que constate t-on ?

  5. Tracer \(\left|X_D(n)\right|\), pour \(n=0, ...,N-1\), dans le cas où \(f_0=\frac{n_0+\epsilon}{N}F_e\), \(n_0\) entier et \(0<\epsilon<1\). Ce résultat est-il satisfaisant (permet-il une analyse spectrale correcte) ?

  6. Quelle méthode peut-on utiliser pour améliorer la visualisation de la transformée de Fourier numérique (et donc le résultat de l’analyse spectrale) ?