Numérisation du signal : échantillonnage
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1.1. Numérisation du signal : échantillonnage#
Definition 1.3
Un signal échantillonné est un signal défini à des instants discrets
1.1.1. Principe, impact#
Nous considérons ici un échantillonnage idéal périodique et un signal à échantillonner, \(x(t)\), déterministe. Si nous notons \(T_e\) la période d’échantillonnage , le signal \(x(t)\) échantillonné de manière périodique à \(T_e\) est constitué d’une succession d’élements prélevés tous les \(T_e\) : \(\left\{x(kT_e)\right\}\) avec \(k \in \mathbb{Z}\). La figure Fig. 1.1 présente un exemple d’échantillonnage d’une fonction sinusoïdale.
Fig. 1.1 Exemple de sinusoïde échantillonnée#
Afin d’étudier l’effet de cet échantillonnage temporel, nous allons associer à \(\left\{x(kT_e)\right\}, \; k \in \mathbb{Z}\), le modèle à temps continu suivant :
où \(\amalg \hspace{-0.3cm}\amalg_{T_e}(t)\) représente le peigne de Dirac de largeur \(T_e\).
Si \(X(f)\) est la Transformée de Fourier de \(x(t)\) alors la transformée de Fourier de \(x_e(t)\) est donnée par :
où \(F_e=\frac{1}{T_e}\) représente la fréquence d’échantillonnage (nombre d’échantillons prélevés par unité de temps). La transformée de Fourier du signal \(x(t)\) est donc périodisée tous les \(F_e\) par l’opération d’échantillonnage. Afin d’éviter le recouvrement des périodisations (aliasing) la fréquence d’échantillonnage doit être choisie de manière à ce que l’on ait \(F_{max}<F_e-F_{max}\), si \(F_{max}\) représente la fréquence maximale de \(X(f)\).
Theorem 1.1 (Théorème d’échantillonnage de Shannon)
Afin de conserver la même information dans le signal échantillonné et dans le signal à temps continu, la fréquence d’échantillonnage \(F_e\) doit être choisie de manière à respecter la condition suivante :
si \(F_{max}\) représente la fréquence maximale de la transformée de Fourier du signal. Cette condition s’appelle la condition de Shannon.
Claude Shannon est un ingénieur en génie électrique et un mathématicien né en \(1916\) aux Etats Unis. Il est un des pères de la théorie de l’information. Il a montré en \(1949\) que tout signal à temps continu dont le spectre est limité en bande pouvait être représenté, sans perte d’information, par une série d’échantillons du signal d’origine, à condition de correctement choisir la fréquence à laquelle on prélève ces échantillons.
1.1.2. Restitution par filtrage#
Si la condition de Shannon est respectée , il est alors possible de reconstituer le signal \(x(t)\), à partir de la suite des échantillons prélevés tous les \(T_e\), en utilisant un filtre passe-bas de fréquence de coupure \(f_c\in \left[F_{max} \;F_e-F_{max}\right]\). En notant \(y(t)\) le signal reconstitué et \(Y(f)\) sa transformée de Fourier, nous avons :
et donc :
La reconstitution par filtrage est donc équivalente à une interpolation. Le signal est reconstruit en sommant les décalages, tous les \(T_e\), de la fonction d’interpolation \(h_{PB}(t)\) pondérée par les échantillons du signal.
Theorem 1.2 (Formule de reconstitution de Shannon)
Lorsque \(F_e=2F_{max}\) (limite de Shannon), un seul filtre permet de reconstituer le signal de départ à partir des échantillons prélevés tous les \(T_e\) : c’est un filtre passe-bas idéal de réponse en fréquence \(H_{PB}(f)=\Pi_{F_e}(f)\), avec \(F_e=\frac{1}{T_e}\) et \(\Pi_{F_e}(f)=1\) pour \(f \in \left[-\frac{F_e}{2}, \frac{F_e}{2}\right]\). Sa réponse impulsionnelle est donc \(h_{PB}(t)=F_e sinc\left(\pi F_e t\right)\) et le signal restitué s’écrit alors :
Cette expression est appelée formule de reconstitution de Shannon.
La formule de reconstitution de Shannon permet de voir l’échantillonnage idéal d’une autre manière : comme étant la décomposition du signal sur la base orthogonale des fonctions \(sinc\left(\pi F_e (t-kT_e)\right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Si, par contre, la condition de Shannon n’est pas respectée, il n’est alors plus possible de reconstituer le signal \(x(t)\), à partir de la suite des échantillons prélevés tous les \(T_e\), car les périodisations de \(X(f)\) tous les \(F_e\) vont venir se superposer à \(X(f)\). On parle de repliement ou d’aliasing (voir Exercise 1.2).
On verra néanmoins dans l’Exercise 1.3 que pour certains signaux, présentant des propriétés particulières, il est possible d’échantillonner sans perte d’information en ne respectant pas la condition de Shannon.
Remark 1.1
Lorsque le signal \(x(t)\) a un spectre de type passe-bande, il est possible de ne pas respecter la condition de Shannon tout en étant capable de reconstituer le signal de départ. La condition est alors que, par un choix astucieux de \(F_e\), les repliements puissent se faire dans les trous du spectre de départ (voir Exercise 1.2).
L’échantillonnage présenté plus haut est un échantillonnage idéal. En pratique, il est impossible de prélever un échantillon de signal toutes les \(T_e\) secondes. On pourra, par exemple,
Utiliser un filtre, mais qui ne sera pas un filtre idéal. Il est alors nécessaire de surcéhantilloner par rapport à la limite de Shannon.
Procéder par extrapolation : \(x(kT_e+\tau)=x(kT_e)\) pour \(0\leq \tau \leq T_e\) (bloqueur d’ordre \(0\)) ou \(x(kT_e+\tau)=x(kT_e)+\frac{\tau}{T_e}\left(x(kT_e)-x((k-1)T_e)\right)\) pour \(0\leq \tau \leq T_e\) (bloqueur d’ordre \(1\) ou extrapolateur linéaire)
Procéder par interpolation : par exemple \(x(kT_e+\tau)=x(kT_e)+\frac{\tau}{T_e}\left(x((k+1)T_e)-x(kT_e)\right)\), \(0\leq \tau \leq T_e\), pour un interpolateur d’ordre \(1\) (causal à un retard près)…
Les Exercise 1.3 et Exercise 1.4 étudient deux méthodes “pratiques” d’échantillonnage.
Lorsque le signal \(x(t)\) ne présente pas de fréquence maximale \(F_{max}\) mais que son spectre décroit quand la fréquence augmente, il est alors possible de réaliser une opération d’échantillonnage avec une réversibilité acceptable. On se définit alors une fréquence maximale, correspondant à l’atténuation minimale souhaitée par rapport à la valeur maximale du spectre, on positionne un filtre dit filtre anti-repliement, qui va couper le spectre au delà de la fréquence maximale choisie, puis on échantillonne (voir {numref}`exercice5).
On définit en numérique des fréquences normalisées : \(\widetilde{f}=\frac{f}{F_e}\) qui sont donc sans dimension et qui permettent de s’affranchir de la connaissance de la valeur de \(F_e\) dans les traitements à réaliser sur le signal.