6.4. Transformée en z inverse

6.4.1. Définition

La transformée en \(z\) inverse est définie par :

Definition 6.2 (TZ inverse)

\[ x(n)=\frac{1}{j 2 \pi}\int_{C^+}X(z)z^{n-1}dz, \]

où \(C^+\) est un contour fermé inclu dans l’anneau de convergence.

Proof. L’expression de la transformée en \(z\) inverse découle directement du calcul de l’intégrale :

\[ J(n,k)=\int_{C^+} z^{n-k-1}dz \]

A l’aide du théorème des résidus on montre :

\[\begin{split}J(n,k)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & \mathrm{ si }\; n \neq k; \\ j 2 \pi, & \mathrm{ si }\; n = k. \end{array} \right.\end{split}\]

On en déduit alors :

\[\begin{align*} \frac{1}{j 2 \pi}\int_{C^+}X(z)z^{n-1}dz&=\frac{1}{j 2 \pi}\int_{C^+}\left(\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k)z^{-k}\right)z^{n-1}dz \\ &=\frac{1}{j 2 \pi}\left(\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k)\right)J(n,k)=x(n) \end{align*}\]

Remark 6.1

il existe des tables de transformées en \(z\) et transformées en \(z\) inverse.

Remark 6.2 (Rappel)

Si \(z_i\) est un pôle simple de g(z) :

\[ Residu\left[g(z)\right]_{z=z_i}=\lim_{z \rightarrow z_i} (z-z_i)g(z) \]

Si \(z_i\) est un pôle d’ordre \(\alpha\) de g(z) :

\[ Residu\left[g(z)\right]_{z=z_i}=\frac{1}{(\alpha-1)!}\left[\frac{\partial^{\alpha-1}}{\partial z^{\alpha-1}}\left(g(z)(z-z_i)^{\alpha}\right)\right]_{z=z_i} \]