6.6. Exercices

Les corrections se trouvent dans le poly d’exercices et problèmes résolus.

Exercise 6.1 (Convergence)

\label{exercice_2_TZ}

Soit un réel \(a\in ]0,1[\) et \(u(n)\) l’échelon de Heaviside (ou échelon unité) :

\[\begin{split} u(n) = \left\{ \begin{array}{rl} 1 & \mbox{pour } n>0\\ 0 & \mbox{pour } n\leq 0. \\ \end{array} \right. \; \end{split}\]

1. Déterminer la transformée en z du signal \(x(n) = a^n u(n)\), avec \(|a|< 1\), et préciser avec soin la région de convergence de \(X(z)\).

2. Déterminer la transformée en z du signal \(y(n) = -a^n u(-n-1)\), avec \(|a|< 1\), et préciser avec soin la région de convergence de \(Y(z)\).

3. Soit \(b\) un réel tel que \(b>a\) et \(|b|< 1\). On considère un système de fonction de transfert :

   \[ H(z)=\frac{1}{\left(1-az^{-1}\right)\left(1-bz^{-1}\right)} \]

   Déterminer la réponse impulsionnelle \(h(n)\) du système dans les trois cas suivants :

   • la région de convergence de \(H(z)\) est \(|z|<a\),

   • la région de convergence de \(H(z)\) est \(a<|z|<b\),

   • la région de convergence de \(H(z)\) est \(|z|>b\).

Exercise 6.2 (Fonction de transfert d’un système linéaire invariant dans le temps)

Soit le système d’entrée \(x(n)\) et de sortie \(y(n)\) défini par l’équation récurrente suivante : \(y(n) - a y(n-1) = x(n)\), avec \(|a|< 1\).

1. Soit \(x(n) = b^n u(n)\) avec \(|b|< 1\). Déterminer sa transformée en z, ainsi que son domaine d’existence.

2. Déterminer la réponse du système à l’entrée \(x(n)\) définie à la question précédente, en supposant que le système est causal.

3. Déterminer la fonction de transfert, ainsi que la réponse impulsionnelle du système.