Exercices
1.6. Exercices#
Les corrections se trouvent dans le poly d’exercices et problèmes résolus.
Exercise 1.1 (Cosinus mal échantillonné)
On échantillonne le signal \(x(t)=\cos \left( 2\pi f_{0}t\right)\) avec \(f_{0}=5kHz\) à la fréquence d’échantillonnage \(F_{e}=8kHz\).
Déterminer la densité spectrale du signal échantillonné \(x_{e}(t)\) et la représenter graphiquement pour \(\left\vert f\right\vert <12kHz\).
Quel signal obtient-on si on filtre le signal \(x_{e}(t)\) précédent à l’aide d’un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure \(F_{c}=4kHz\) ? Même question si on filtre le signal \(x_{e}(t)\) à l’aide d’un filtre passe-bande idéal de bande passante \(\left[ -6kHz,-4kHz\right] \cup \left[ 4kHz,6kHz\right]\).
Exercise 1.2 (Effet de l’échantillonnage)
Soit le signal suivant : \(x(t)=\cos(2 \pi f_0 t), \; f_0=10\) kHz.
Tracer la transformée de Fourier de \(x(t)\): \(X(f)\).
Est-il possible d’échantillonner \(x(t)\) sans perte d’information ? Si oui à quelle condition ?
Tracer, entre \(0\) et \(F_e\), la transformée de Fourier de \(x(t)\) échantillonné à \(T_e=1/F_e\) quand :
a. \(F_e=30\) kHz.
b. \(F_e=8\) kHz.
A partir des échantillons nous souhaitons reconstruire \(x(t)\) par filtrage passe-bas à \(F_e/2\). Quels seront les signaux obtenus pour chaque fréquence d’échantillonnage précédente ?
Exercise 1.3 (Echantillonnage d’un signal passe-bande)
On considère le signal \(x(t)=x^+(t)+x^-(t)\), avec \(x^+(t)=B\frac{sin(\pi Bt)}{\pi B t}e^{j 2 \pi f_0 t}\) et \(x^-(t)=B\frac{sin(\pi Bt)}{\pi B t}e^{-j 2 \pi f_0 t}\), \(f_0=8 kHz\) et \(B=2 kHz\).
Déterminer la transformée de Fourier du signal \(x(t)\) et la représenter graphiquement.
Comment s’écrit la condition de Shannon pour le signal \(x(t)\) ?
On échantillonne le signal \(x(t)\) à la fréquence \(F_e=6 kHz\).
a. Représenter graphiquement la transformée de Fourier du signal échantillonné \(x_e(t)\) dans la bande \(\left[- 9 kHz, 9 kHz\right].\)
b. On désire restituer le signal \(x(t)\) à partir de \(x_e(t)\) par un filtrage de réponse en fréquence \(H(f)\).
\(1^{ier}\) cas : \(H(f)=\Pi_F(f)\) avec \(F=6 kHz\). Quel sera le signal restitué par ce filtre ?
\(2^{ème}\) cas : \(H(f)=\Pi_B(f+f_0)+\Pi_B(f-f_0)\) avec \(f_0=8 kHz\) et \(B=2 kHz\). Quel sera le signal restitué par ce filtre ?
Conclusion ?
Exercise 1.4 (Echantillonneur moyenneur)
L’échantillonneur moyenneur est une méthode pratique d’échantillonnage qui consiste à calculer, toutes les \(T_e\) secondes (période d’échantillonnage), la valeur moyenne du signal pendant un intervalle de temps \(\theta \) (\(\theta <<T\)) et à affecter cette valeur moyenne à l’échantillon discrétisé :
Démontrer que le signal échantillonné \(x_{ech}(t)\) peut se mettre sous la forme :
\[x_{ech}(t)=\frac{1}{\theta }\left[ \Pi _{\theta }\left( t\right) \ast x\left( t-\frac{\theta }{2}\right) \right] .\amalg \hspace{-0.3cm}\amalg_{T_e}\left( t\right)\]où \(\Pi _{\theta }\left( t\right) \) et \(\amalg \hspace{-0.3cm}\amalg_{T_e}\left( t\right) \) représentent respectivement la fenêtre rectangulaire de largeur \(\theta \) et le peigne de Dirac de période \(T_e\).
En déduire la transformée de Fourier correspondante \(X_{ech}\left( f\right) \).
En considérant un signal à support spectral borné \(2\Delta f\) et en prenant en compte que la fonction \(sinc(\pi \theta f)\) peut être supposé constante sur l’intervalle \(\left[ -\frac{1}{3\theta },\frac{1}{3\theta }\right]\), ie.
\[sinc(\pi \theta f)=\frac{\sin (\pi \theta f)}{\pi \theta f}\approx 1\text{pour }f\in \left[ -\frac{1}{3\theta },\frac{1}{3\theta }\right]\]a. quelle(s) condition(s) doit vérifier \(\theta \) pour que le signal \(x(t)\) puisse être restitué par filtrage de \(x_{ech}(t)\) ?
b. Dans ces conditions peut-on échantillonner à la fréquence de Shannon ?
Exercise 1.5 (Echantillonneur bloqueur)
L’échantillonneur bloqueur est un échantillonneur réalisable en pratique qui consiste à acquérir un échantillon du signal, \(x(t)\), toutes les \(T_e\) secondes (période d’échantillonnage) et à le bloquer pendant \(\tau\) secondes (\(\tau<<T_e\)).
Proposer une écriture du signal échantillonné de cette manière, \(x_e(t)\), en fonction de l’expression du signal échantillonné de manière idéale : \(x_{ei}(t)=\sum_{k\in \mathbb{Z}} x(kT_e) \delta(t-kT_e)\).
Calculer la transformée de Fourier du signal échantillonné à l’aide de cette méthode. L’écrire en fonction de la transformée de Fourier, \(X(f)\), du signal de départ.
Est-il possible de dimensionner \(\tau\) pour que l’échantillonnage par bloqueur se rapproche d’un échantillonnage idéal ?
Exercise 1.6 (Signal à spectre non borné - Recherche de la \(F_e\))
Soit le signal \(x(t)\) défini par :
Déterminer la transformée de Fourier \(X(f)\) du signal \(x(t)\). Tracer \(\left|X(f)\right|\).
En théorie le signal \(x(t)\) est-il échantillonnable sans perte d’information ? Expliquez votre réponse.
En considérant la transformée de Fourier comme négligeable pour une atténuation minimale de \(40\) dB par rapport à sa valeur maximum, dimensionner la fréquence d’échantillonnage, \(F_e\), à utiliser.
Une fois \(F_e\) déterminée, quel traitement doit-on appliquer au signal avant de l’échantillonner ?
Exercise 1.7 (Quantification d’un sinusoïde)
Soit un signal sinusoïdal \(x(t)=A_{0} \sin \left( 2\pi f_0t+\phi\right)\), avec \(f_{0}=50Hz\), \(A_{0}=220\sqrt{2}V\) et \(\phi\) une phase aléatoire uniformément répartie entre \(0\) et \(2 \pi\). On suppose que la quantification de cette sinusoïde est effectuée dans de bonnes conditions : pas d’écrétage du signal, pas de quantification \(q=\frac{D}{2^{nb}}\) suffisament fin (\(D\) représentant la dynamique du signal et \(nb\) le nombre de bits de quantification). Elle est donc équivalente à l’ajout d’un bruit, \(n_Q(t)\), sur le signal non quantifié de départ, bruit aléatoire, centré qui suit une loi uniforme sur \(\left[-\frac{q}{2}, \; \frac{q}{2}\right]\).
Déterminer le rapport signal à bruit de quantification en fonction de \(nb\).