6.3. Propriétés

Property 6.1

1. Linéarité :

   \[ TZ\left[ax(n)+by(n)\right]=aTZ\left[x(n\right]+bTZ\left[y(n\right] \]

   Convergence : si \(R^+=Min(R_x^+,R_y^+)\) et \(R^-=Max(R_x^-,R_y^-)\) alors le domaine de convergence contient \(]R^-, R^+[\).

2. Décalage temporel :

   \[ TZ\left[x(n-n_0)\right]=z^{-n_0}TZ\left[x(n)\right] \]

   Même domaine de convergence que pour \(X(z)=TZ\left[x(n\right)]\).

3. Changement d’échelle :

   \[ TZ\left[a^nx(n)\right]=X\left(\frac{z}{a}\right) \]

   Convergence : \(aR_x^- \leq |z|< aR_x^+\)

4. Dérivabilité :

   La transformée en z définit une série de Laurent qui est indéfiniment dérivable terme à terme dans son domaine de convergence. On en déduit :

   \[ TZ\left[nx(n)\right]=-z\frac{dX(z)}{dz} \]

   Même domaine de convergence que pour \(X(z)=TZ\left[x(n\right)]\).

5. Produit de convolution :

   Le produit de convolution entre les suites \(x(n)\) et \(y(n)\) est défini par :

   \[ x(n)\ast y(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k)y(n-k) \]

   On a alors :

   \[ TZ\left[x(n)\ast y(n)\right]=X(z)Y(z) \]

   et sa région de convergence peut être plus large que l’intersection des régions de convergence de \(X(z)\) et \(Y(z)\).